猪豆荚

标题: 2022数学建模国赛B题思路和论文：基于自适应遗传算法的 ... [打印本页]

作者: 聖喆 时间: 2022-9-21 16:13
标题: 2022数学建模国赛B题思路和论文：基于自适应遗传算法的 ...
针对建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型之间的关系并设置体型校正系数的问题，本文首先以非刚体动力学为基础，简化跳水动作为m 周翻腾与n 周转体的集合，通过简化随时间变化的欧拉方程建立起kick 动力学模型；其次，运用生物力学求解出跳水时间与运动员体型的关系，并对模型的分析结果进行均一化处理，得到体型校正系数，具有一定的公平性；最后运用自适应遗传算法重新给出一套新的难度系数评价体系。
问题一中，本文首先通过拟合模型对国际泳联十米跳台跳水难度系数进行了趋势拟合，在对其进行充分的讨论后，得出了对解决下面问题有帮助的一些合理的结论。诸如跳水运动中，翻腾周数与转体周数之和不大于6 周；没有转体动作时，总难度系数与翻腾周数成正相关，而加入转体动作后，总难度系数将变为并不总与翻腾周数成正相关；在考虑总的难度系数DD 时，应着重考虑翻腾周数的难度系数A、空中姿势的难度系数B 和转体周数的难度系数C 等重要结论。
问题二中，本文利用非刚体动力学，简化随时间变化的欧拉方程，对运动员跳水动作中的翻腾与转体过程进行了动力学系统分析。通过kick 动力学模型，本文首先得到了运动员完成各个跳水动作的时间随初始角动量与惯性矩等参数的关系；然后，本文的亮点在于通过文献资料法、数理统计法与拟合模型得出了初始角动量随运动员身高、体重的关系；最后，通过生物力学方法简化了运动员的身体模型，得到了各个空中姿态下的惯性矩；进而本文可以建立出完成各个跳水动作时间与运动员体型之间的关系模型。结果如下：

经MATLAB 求解，在各个空中姿态下，运动员完成每个跳水动作的时间都与其身高、体重呈正相关关系，但没有转体动作的纯翻腾动作受运动员体重的影响并不大，且大多数跳水动作所需的时间都在1.7-2.3s 的范围内，如图9-图15 所示。模型对不同空中姿态下5x35、x03 系列动作进行了验证，发现对于体重在35kg-70kg、身高在1.4m-1.7m 范围内的运动员，完成一套跳水动作所需的时间明显受运动员体重与身高的影响，最大影响约为35.29%左右。
问题三中，本文对问题二的模型结果进行了均一化处理，即为不同身高、体重的运动员分配不同的体型校正系数，使其完成跳水动作的时间与体型校正系数的乘积尽可能相同。通过讨论可知，体型校正系数完全消去跳水时间模型中的身高、体重参量时为最优，继而本文将体型校正系数转化为了一个与跳水时间呈负相关关系的、以运动员翻腾与转体周数、身高与体重为自变量的函数模型。模型对不同空中姿态下5x35、x03 系列动作进行了验证，发现对于体重在35kg-70kg范围内、身高在1.4m-1.7m 范围内的运动员，修正后的模型几乎不受运动员体重与身高的影响，其波动仅为±1.05%左右，具有一定的公平性。
问题四中，本文基于问题二的模型建立了新的难度系数评价指标。首先，本文通过翻腾周数、转体周数及跳水时间来评价翻腾与转体动作的难度系数A′，并且利用遗传算法求解了A′表达式中的未知参量；其次，分别用B′、C′校正由于空中姿势、起跳姿势的不同造成的难度系数变化；然后，用D′、E′分别表示起跳前正面朝向以及翻腾方向的难度系数与入水过程的难度系数；最后，用A′、B′、C′、D′、E′五个难度系数之和综合评定各个跳水动作的难度系数。通过对26 组跳水动作的验证，对于只有翻腾没有转体的跳水动作，模型得出的结果与附件1中规定的难度系数基本没有区别，如307C 原难度系数为3.4，新难度系数为3.5。
然而，对于既有翻腾又有转体的跳水动作，模型得出的结果与附件1 中规定的难度系数存在着比较明显的区别，并且随着翻腾周数与转体周数总和的增加，这一区别越来越大，二者的难度系数差最高达到0.5，如5275B 原难度系数为4.2，新难度系数高达4.7。这是因为在本文的难度评价模型中，对于既有翻腾又有转体的跳水动作，翻腾周数及转体周数的总和越大，该动作的难度系数越大，且难度系数的增长速度也逐渐变快。
关键词：kick 动力学模型；生物力学；自适应遗传算法；非刚体动力学
1.问题重述
1.1问题背景
国际泳联在跳水竞赛规则中规定了不同跳水动作的代码及其难度系数（见附件 1 ），它们与跳水运动员的起跳方式（起跳时运动员正面朝向、翻腾方向）及空中动作（翻腾及转体圈数、身体姿势）有关。裁判员们评分时，根据运动员完成动作的表现优劣及入水效果，各自给出从 10 到 0 的动作评分，然后按一定公式计算该运动员该动作的完成分，此完成分乘以该动作的难度系数即为该运动员该动作的最终得分。
1.2问题分析
因此，出于公平性考虑，一个跳水动作的难度系数应充分反映该动作的真实难度。但是，有人说，瘦小体型的运动员在做翻腾及转体动作时有体型优势，应当设置体型系数予以校正，请通过建模分析，回答以下问题：
1.研究分析附件 1 的 APPENDIX 3 4 ，关于国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则，你们可以得到哪些对解决以下问题有意义的结论？
2.请应用物理学方法，建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高，体重）之间的关系。
3.请根据你们的模型说明，在 10 米跳台跳水比赛中设置体型校正系数有无必要。如果有，校正系数应如何设置？
4.请尝试基于你们建立的上述模型，给出表 1 中所列的十米跳台跳水动作的难度系数。你们的结果与附件 1 中规定的难度系数有无区别？如果有区别，请作出解释。
2.模型假设和符号说明
2.1 模型假设
a) 假设运动员在跳水过程中，身体由均被视为刚体的三部分组成，分别为躯体、左臂、右臂，各刚体部分可进行相对运动。
b) 假设运动员所能进行的所有跳水动作均由起跳、翻腾、姿态改变、转体、入水五部分组成，各部分进行的次数视具体跳水动作而定（可以进行0 次）。
c) 假设运动员在整个跳水动作中，起跳、姿态改变、入水均瞬间完成，跳水动作所需的时间全部用于翻腾、转体部分。
d) 假设运动员在整个跳水动作中所受的合外力为零，跳水过程中运动员角动量守恒、能量守恒。
e) 假设所有运动员身体密度相同，且质量分布均匀。
f) 忽略一切其它次要因素，仅只考虑纯粹的非刚体系统动力学问题。

3.问题一的分析与建模
3.1 问题一的分析
根据题目，要根据附件一给出的是关于国际泳联十米跳台跳水不同动作的难度系数的确定规则，得到解决其他问题的有意义的结论。因此，本文首先把握全部问题的关键信息，进而在附件一中寻找相关的资料。如题所示，问题二所求的是应用物理学的方法，通过建立模型来描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高、体重）之间的关系；问题三是在问题二的基础上设置体型校正系数；问题四是基于上述所建模型，给出部分动作的难度系数并和附件一中的作比较。在附件一中，已知总难度系数DD  A B C  D E。其中 A 表示翻腾周数的难度系数、B 表示空中姿势的难度系数、C 表示转体周数的难度系数、D表示助跑方式难度系数、E 表示入水特点难度系数。
本文对附件1 中《国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则》开展了一系列分析研究，并得到了一些对解决后续问题有意义的结论，结论将详述于本文的3.2 小节。下面将展现对附件一的分析过程：
i．对翻腾周数的难度系数A 的分析：
如图1 所示，翻腾周数的难度系数A 与翻腾周数近似成正相关关系。其中，翻腾1 周半与2 周、2 周半与3 周、3 周半与4 周以及4 周半与5 周半之间难度系数有陡增，难度系数分别增加了0.4、0.4、0.8 和1。这表明每当运动员能够翻腾m 周（非整数周，即整数加半周）后，要想再翻腾半周，困难会大幅上升；对立地，如果运动员一开始能够翻腾 m 周（整数周），那么对于（m+0.5）周，运动员相对并不会感到很吃力；此外，翻腾4 周和4 周半的难度系数是一样的；翻腾5 周在附件一的表格中的难度系数并没有体现。

图1 10m 跳台跳水翻腾周数与翻腾周数的难度系数A 的关系
对于没有翻腾5 周的难度系数的情况，本文分析到，运动员正常跳水时，有起跳后（展开身体）和入水前（展开身体）的时间，如果运动员翻腾5 周后，头正好朝向跳台，会导致没有多余的时间来展开身体，来为入水做准备，这样就会导致入水水花大，从而分数低。比较而言，翻腾5 周半意味着运动员翻腾5周半后，头部刚好朝向水面，此时，顺势而入水，无需多余的时间做入水前的准备。同时，本文发现，起跳动作对翻腾周数难度系数的判定没有影响。
ii．对空中姿势的难度系数B 的分析：
由附件1 可知，空中姿势的难度系数共有直体、屈体、抱膝、翻腾兼转体的任意姿势和飞身这5 种分类；起跳动作共有面对池向前跳水（Fwd）、面对台向后跳水（Back）、面对池反身跳水（Rev）、面对台向内跳水（Inw）和臂立跳水（Arm）。臂力跳水又包括臂立面对池向前跳水（Arm.F）和臂立面对台向后或者面对池反身跳水（Arm.BR）。
飞身表示从跳台往下的瞬间的动作，不能够单独出现。可以与屈体b 或抱膝c 一起出现，即两者的难度系数相加。
运动员在选择空中姿势为翻腾兼转体的任意姿势后，当翻腾周数时，起跳动作避开面对台向内跳水；当翻腾周数时，起跳动作避开面对台向后跳水和面对池反身跳水。
运动员在选择空中姿势为抱膝或屈体且起跳动作为面对台向内跳水后，当翻腾周数时，需要将空中姿势改为飞身加屈体或飞身加抱膝。
iii．对转体周数的难度系数C 的分析：
由附件1 可知，转体周数难度系数C 是以翻腾周数m 加转体周数n 以及运动员的起跳动作为依据进行评定的。可以观察到，当转体周数为整数时，都不进行翻腾。换句话说，当转体周数不为整数时，可以边转体边翻腾。有固定的动作组合：
（1）翻腾半周并转体 n 周（）的跳水只能在采用直体、屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；
（2）翻腾一周或一周半并转体 n 周（）的跳水只能在采用翻腾兼转体的任意姿势的情况下实现；
（3）翻腾m 周（）或并转体n 周（）的跳水只能在采用屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；
（4）臂立起跳且翻腾一周或一周半或两周并转体一周或大于等于两周的跳水只能在采用翻腾兼转体的任意姿势的情况下实现；
（5）臂立起跳且翻腾 m 周（m >2.5 ）并转体一周的跳水只能在采用屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；如图2 所示，在起跳动作一致且翻腾周数相同的情况下，难度系数与转体周数成正相关；然而，在同一起跳动作的前提下，对于相同的转体周数，难度系数并不总与翻腾周数成正相关。

iv．对助跑方式难度系数 D 的分析：助跑方式难度系数并不总与翻腾周数成正相关关系。面对池向前跳水或臂立跳水时，难度系数随着翻腾周数的增加而增加面对台向内跳水时，难度系数随着翻腾周数的增加而减小面对池反身跳水时难度系数随着翻腾周数的增加先增加后减小。
v对入水特点难度系数 E 的分析：
入水时，不带转体。入水特点难度系数与翻腾周数近似成正相关关系。
vi对部分跳水动作的难度系数例子的分析：
如图 3 所示，显示的是不同空中姿势的 307 系列、 309 系列、 5371 系列以及5257和 6247 的比较。可以发现，当单单有翻腾动作时，在总的难度系数 DD 中，翻腾周数的难度系数 A 占的最多，远远高于其它几项的难度系数。且总难度系数 DD 随着翻腾周数的增大而增大；当加入转体动作后，在总的难度系数 DD 中，翻腾周数的难度系数 A 占的最多，其次是转体周数的难度系数，总难度系数 DD随着翻腾周数的增大或转体周数的增大而增大。同时横向比较各个系列，发现采用屈体的空中姿势的难度系数总比采用抱膝的空中姿势的难度系数大。

图3 对不同跳水动作的难度系数 A 、 B 、 C 、 D 和 E 在总难度系数 DD 中的占比
vii对附录 4 的分析：
本文发现在跳水动作代码一样的情况下采用空中姿势为直体的难度系数比采用屈体的大；采用屈体的难度系数比采用抱膝的难度系数大。
3.2问题一的结论
综上所述，本文得到了如下对解决以下问题有意义的结论：
（1 没有转体动作时，总难度系数 DD 随翻腾周数的增大而增大；
（2 在既有转体动作又有翻腾动作时：在翻腾周数相同的情况下难度系数与转体周数成正相关；然而转体周数相同时，难度系数并不总与翻腾周数成正相关
（3 翻腾周数 m 和转体周数 n 之和总小于 6 周，转体周数 n 不大于 4 周半，翻腾周数 m 不大于 5 周半且不能取 5 周；
（4 空中姿势为直体的跳水动作的难度系数比屈体的大，空中姿势为屈体的跳水动作的难度系数比抱膝的大；
（5 空中姿势中飞身表示从跳台往下的瞬间的动作，不能够单独出现。可以与屈体或抱膝一起出现，即两者的难度系数相加。转体加翻腾连续地做更容易，身体协调程度越高，难度越高
（6 跳水动作都有固定的组合考虑不同的翻腾周数和转体周数时需参考附件一中的附录四
（7 在考虑总的难度系数 DD 时，着重考虑翻腾周数的难度系数 A 、空中姿势的难度系数 B 和转体周数的难度系数 C 。
4.问题二的分析与建模
4.1 问题二的分析
根据对附件1 《国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则》的分析，在 1 0米跳台跳水比赛中，运动员完成各个跳水动作的时间近似等于在空中完成翻腾与转体动作所需时间之和（忽略不同助跑方式对完成跳水动作时间的影响）。而对于不同的跳水动作来说，所需完成的翻腾周数、转体周数大多数是互不相同的，起跳瞬间所需的角动量与翻腾、转体过程消耗的能量也是互不相同的，此外，运动员的惯性矩与自身的体型与姿势相关。本文需要建立运动员跳水过程的动力学模型，以推导出完成一次跳水动作的时间与翻腾周数、转体周数、角动量、惯性矩、翻腾与转体各自消耗的能量之间的关系。在上述关系的基础上，分析角动量、惯性矩与运动员体型（身高，体重）之间的解析关系，即可得到运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型之间的关系。
因此，问题二的解答需要分为两步：
（1）应用物理学方法，建立运动员跳水过程的动力学模型，并由模型推导出运动员完成一次跳水动作的时间与翻腾周数、转体周数、角动量、惯性矩、翻腾与转体各自消耗的能量之间的关系；
（2）分析角动量、惯性矩与运动员体型（身高，体重）之间的关系，进一步推导运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型间关系的数学模型。
42 问题二的动力学模型
在本文的模型中，首先假设运动员为一个具有一定质量与体积的非刚体，用非刚体动力学简化随时间变化的欧拉方程，给出运动员进行翻腾与转体过程的动力学系统分析。在简化后，转体过程变得较直观，而翻腾过程则需要通过几何相位和动力学相位的组合来复现，即简化为围绕空间中的固定角动量矢量的旋转。坐标系的建立以及运动员跳水过程中的姿势变化简图如图 4 所示 1

图4 坐标系的建立方法以及运动员跳水过程中的姿势变化简图
在跳水动作中翻腾和转体动作的形成主要是外力矩的作用。如果外力矩为零即原地垂直起跳反作用力通过身体重心那就不可能产生翻腾和转体动作，只能产生一个直上直下的动作。本文认为跳水中的翻腾和转体的形成，主要是外力矩的作用，同时内力也起着一定的作用。据此，为了产生旋转的外力矩，运动员必须使身体“前倾”或“后倒”，使身体重心逐渐地超出支撑面，当支撑反作用力不通过身体中心时，这个支撑力便围绕总重心形成外力矩，人体便产生了转动，如图 5 所示。

图5 运动员起跳瞬间的受力分析图
下面介绍本问题中的角动量守恒定理当运动员离开跳台后处于非支撑状态中。而描述转动状态变化和外力矩的关系，可用动量矩原理：

其中J 表示转动惯量（描述使转动加速或减速的难易程度的量），表示身体绕转轴转动的角加速度， ME 为绕转轴的合外力矩。运动员离开跳台后，没有合外力矩，，所以有角速度为常数。所以有：

即动量矩是保持不变的。这就是说，合外力矩为零时，人体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。进而地，由于身体对转动轴的转动惯量为：

其中， \sum_i 表示对身体各个部分的求和； M i表示身体的第i 部分的质量； Yi表示与转动轴线的距离； M 表示运动员总的质量， R 表示回转半径。
本文发现，运动员离开跳台后，由于总的角动量保持一致，因此运动员可以通过改变空中姿势（直体、屈体和抱膝）来改变转动的角速度。除空中动作外，起跳动作对于一套跳水动作的成功与否也起着重要的作用。图6(a)-(f)所示为跳水运动中六组不同的起跳动作，(a)为面对池向前跳水、(b)为面对板/台向后跳水、(c)为面对池反身跳水、(d)为面对板/台向内跳水、(e)为转体跳水、(f)为臂立跳水。

图6 跳水运动中六组不同的起跳动作[3]
本文使用kick 动力学模型来作为运动员跳水过程的动力学模型，在kick 模型中，运动员完成一套跳水动作所需的时间T air与翻腾周数m 、转体周数n 、立体角S 、翻腾过程消耗能量Es、转体过程消耗能量Et 、角动量l 、转体周期（完成一次转体所需时间） Tt 有关，一套需要运动员完成m 周翻腾与n 周转体的跳水动作满足如下关系：

4.3.1 角动量与运动员体型的关系
由于运动员起跳的初始角动量与跳水动作、运动员的经验与身体素质间存在很大关系，通过物理方法建立初始角动量与运动员体型的理论关系不尽贴合实际。本文使用影像解析法与数理统计法，选择熊倪、孙淑伟、邱波、杨健、火亮、谢思杨、伏明霞、许艳梅8 名跳台跳水运动员作为样本[4]-[7]，使用第11、12 两届亚运会与巴塞罗那、亚特兰大两届奥运会上的跳水大赛中实测数据分析问题。上述8 名运动员的起跳角动量与身高、体重如表2 所示。表2 跳水运动员身高、体重与角动量实际数据

根据角动量的定义式（14），角动量为物体到原点的矢径和其动量的叉积：

在定义式（14）中，矢径r 的大小与运动员的身高成线性关系。根据实测数据表2 及定义式（14），本文可以通过拟合8 名运动员实际的起跳角动量、身高体重乘积来探索角动量与运动员体型之间的关系，通过MATLAB 拟合工具箱，本文得到如图7 的一根样条曲线，如下图所示。

角动量与运动员体型的拟合方程如公式（15）所示，其中， HI 为运动员身高， M 为运动员体重。

4.4.1 模型适用于各种不同跳水动作的证明
首先，为了直观的说明本文提出的模型适用于各种不同的跳水动作，本文画出了在不同翻腾周数m 与转体周数n 下，运动员的跳水时间airT 随其初始角动量l的关系，如图9 所示。

图9 不同跳水动作下，运动员的跳水时间随角动量的关系
探究分析：对于每一个跳水动作，都对应不同的翻腾周数m 和转体周数n 。在本文中，通过控制变量法，分别探究m 不变时，运动员完成不同跳水动作的时间Tair 随角动量l 的变化以及n 不变时， airT 随l 的变化。

6.问题四的分析与建模
6.1 问题分析
问题四需要本文基于已经建立的上述模型，给出表1 中所列的十米跳台跳水动作的难度系数，分析模型的结果与附件1 中规定的难度系数有无区别，并且作出合理的解释。在问题二中，本文建立了描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高，体重）之间关系的模型，并且发现身材短小、体重轻巧的运动员能在更短的时间内完成更加复杂的动作，动作的难度系数与运动员完成这一套动作所需时间存在某种关系；在问题三中，本文讨论了在10 米跳台跳水比赛中设置体型校正系数的必要性，并给出了合理的体型校正系数模型。
基于上述模型，本文使用运动员完成一套跳水动作所需时间来评价跳水动作的难度系数。根据问题二的模型结果，本文发现：在角动量相同的情况下，一套简单的动作从离开跳台到入水过程经历的时间较长，而一套复杂的跳水动作反而需要较少的时间。
基于以上分析，问题四的解答需要分为两步：
（1）建立运动员完成一套跳水动作所需的时间与该跳水动作难度系数之间的模型；
（2）使用建立的难度系数评价模型评价表1 中所列的十米跳台跳水动作的难度系数，分析模型的结果与附件1 中规定的难度系数有无区别，并且作出合理的解释。
6.2 难度系数评价模型
根据附件1 中《国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则》，一套跳水动作的难度系数可以由DD 表示， DD 的表达式如公式（32）所示：

其中，A 为翻腾过程的难度系数，B 为空中姿势的难度系数，C 为转体过程的难度系数，D 为起跳前正面朝向以及翻腾方向的难度系数，E 为入水过程的难度系数。
本文提出的难度系数评价模型只对翻腾过程、转体过程与空中姿势进行难度系数的修正，运动员起跳前的正面朝向、翻腾方向与跳水完成时的入水方式仍然沿用国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则。根据国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则，一套跳水动作的难度系数DD 的计算方式如表3 所示。
由式（36）可知，参数优化模型的待求参数为 \left(k_1, k_2, \alpha, \beta\right) 。对于以上4 项参数的求解方法，若采用全局搜索优化方法会导致求解程序效率极低，短时间内不能获得满意结果。遗传算法[8]-[9]是一种概率化搜索方法，模拟自然演化原理的人工适应系统能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方式。
GA 算法的优化流程图如图28 所示：

传统遗传算法参数中交叉概率和变异概率的选择是影响遗传算法行为和性能的最关键因素。若交叉概率过大，遗传模式被破坏几率变大，使得具有高度适应度的个体很快被破坏；若交叉概率过小，会使搜索过程缓慢，一直停滞不前。美国密歇根大学Holland 等提出一种自适应遗传算法，交叉概率与变异概率能够随着个体适应度大小而自动改变。当种群个体适应度趋于一致或者局部最优时，增加交叉概率和变异概率；当群体适应度比较分散时，使得交叉概率和变异概率减小。
本文采用自适应遗传算法对待求参数进行迭代优化，自适应算法的交叉概率&#39;c A 和变异概率&#39;m A 的计算方法如下：

7.模型的评价与灵敏度分析
立体角S 是本文模型中的重要参数之一，在不同的跳水动作及跳水过程中，立体角S 并不是恒定不变的，立体角S 的变化会改变运动员完成一套跳水动作的时间Tair 。由于本文问题三、问题四的模型是基于时间airT 模型建立的，所以立体
角S 的变化对于问题三中的体型校正系数 \lambda\left(m, n, H_l, M\right) 、问题四中的难度系数&#39; DD 也可能会产生某种影响。
为了研究立体角S 对模型的影响，验证模型的合理性，在灵敏度分析中，本文改变了立体角S ，以分析本文提出的模型对S 的灵敏度。表9 给出了当立体角S 波动-15%~15%时，问题二的模型结果Tair 、问题三的模型结果 \lambda\left(m, n, H_l, M\right) 、问题四的模型结果&#39; DD 的变化情况，以此分析本文各个模型的灵敏度以及合理性。Tair 、 \lambda\left(m, n, H_l, M\right) 、 &#39; DD 的变化率随立体角S 变化率的曲线如图 30（a-c）所示。

结果分析：
通过表9 与图30（a-c）可以看出，当立体角S 波动-15%~15%时，问题二的模型结果Tair 、问题三的模型结果 \lambda\left(m, n, H_l, M\right) 、问题四的模型结果 &#39; DD 几乎没有变化，本文提出的各个模型不会因立体角S 的波动得出不合理的结果，具有一定的合理性与鲁棒性。

作者: 前恶后善也有罪 时间: 4 天前
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